Groupes de Selmer et accouplements, by Bernadette Perrin-Riou
Abstract: Soit $E$ une courbe elliptique dfinie sur le corps des nombres rationnels $\Q$. D'aprs le thorme
de Mordell, le groupe $E(\Q)$ des points de $E$ rationnels sur $\Q$ est un $\Z$-module de type fini. Nekov\'a\v{r} vient de dmontrer
que son rang est de m que la multiplicit du zro en $s=1$ de la
fonction $L$ complexe associe $E/\Q$ lorsque le groupe de Tate-Shafaravich est fini. La conjecture de Birch et
Swinnerton-Dyer prdit qu'il y a galit entre ces deux entiers attachs $E$.
La dmonstration de ce rsultat par Nekov\'a\v{r} utilise essentiellement trois arguments
et se fait en introduisant un corps quadratique imaginaire $K$ et un nombre
premier $p$ auxiliaires vrifiant certaines conditions. Le premier argument
utilise le thorme de Cornut concernant les points de Heegner (\cite{cornut}, conjecture de
Mazur \cite{mazur72}) : on en dduit que le rang de $E(K_n)$ tend vers l'infini avec $n$ pour
$K_n$ l'extension de $\Q$ de de degr $2p^n$ et didrale sur $\Q$. Le deuxime
argument est base de thorie d'Iwasawa. Il s'agit de gnraliser le thorme
de Cassels qui affirme que le groupe de Tate-Shafaravich d'une courbe elliptique
modulo sa partie divisible (not $\divis$) est un carr, ou ce qui revient presque au m
quotient du $p$-groupe de Selmer $S_p(E/K)$ de $E/K$ modulo sa partie divisible
est un carr : on peut construire une forme alterne et non dgnre sur
$S(K)/\divis$.
Ce qui joue ici le r™le du groupe de Tate-Shafarevich est le quotient de
$S_p(E/K_\infty)$ par sa partie $\Lambda$-divisible $\divis_\Lambda$ o
$\Gamma=\Gal(K_\infty/K)$ et $\Lambda$ est l'algbre de groupe continue
$\Zp[[\Gamma]]$. On peut encore construire sur $S_p(E/K_\infty)/\divis_\Lambda$
une forme $\Lambda$-linaire et alterne.
Le troisime argument utilise les rsultats de Kolyvagin gnraliss par
Bertolini et Darmon (\cite{kolyvagin90}, \cite{bertolini-darmon90}) et
des arguments de descente pour conclure.
Pour construire la forme alterne, Nekov\'a\v{r} reprend compltement la thorie des groupes de
Selmer en utilisant le formalisme des complexes. Il obtient ainsi d'autres
applications en thorie de Hida et autres.
Nous nous contentons ici de faire cette construction en allant au plus court et de replacer ensuite ces rsultats dans un contexte plus gnral.
Le principe de la dmonstration est de faire grand usage du twist d'un $\Lambda$-module : l'adjoint d'un $\Lambda$-module de torsion
se calcule en effet facilement lorsque ses coinvariants sont de torsion pour l'anneau quotient, ce qui est ralisable en faisant un twist conve
nable. Cette astuce permet d'viter les difficults dues au fait que le groupe de Mordell-Weil n'est pas fini. Ainsi, par exemple, l'accouplemen
t de Cassels-Tate peut se calculer comme une "limite convenable" des accouplements relatifs aux reprsentations twistes par $k$.
Bernadette Perrin-Riou <Bernadette.Perrin-Riou@math.u-psud.fr>