Groupes de Selmer et accouplements, by Bernadette Perrin-Riou

Abstract: Soit $E$ une courbe elliptique dfinie sur le corps des nombres rationnels $\Q$. D'aprs le thorme de Mordell, le groupe $E(\Q)$ des points de $E$ rationnels sur $\Q$ est un $\Z$-module de type fini. Nekov\'a\v{r} vient de dmontrer que son rang est de m que la multiplicit du zro en $s=1$ de la fonction $L$ complexe associe $E/\Q$ lorsque le groupe de Tate-Shafaravich est fini. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prdit qu'il y a galit entre ces deux entiers attachs $E$. La dmonstration de ce rsultat par Nekov\'a\v{r} utilise essentiellement trois arguments et se fait en introduisant un corps quadratique imaginaire $K$ et un nombre premier $p$ auxiliaires vrifiant certaines conditions. Le premier argument utilise le thorme de Cornut concernant les points de Heegner (\cite{cornut}, conjecture de Mazur \cite{mazur72}) : on en dduit que le rang de $E(K_n)$ tend vers l'infini avec $n$ pour $K_n$ l'extension de $\Q$ de de degr $2p^n$ et didrale sur $\Q$. Le deuxime argument est base de thorie d'Iwasawa. Il s'agit de gnraliser le thorme de Cassels qui affirme que le groupe de Tate-Shafaravich d'une courbe elliptique modulo sa partie divisible (not $\divis$) est un carr, ou ce qui revient presque au m quotient du $p$-groupe de Selmer $S_p(E/K)$ de $E/K$ modulo sa partie divisible est un carr : on peut construire une forme alterne et non dgnre sur $S(K)/\divis$. Ce qui joue ici le rôle du groupe de Tate-Shafarevich est le quotient de $S_p(E/K_\infty)$ par sa partie $\Lambda$-divisible $\divis_\Lambda$ o $\Gamma=\Gal(K_\infty/K)$ et $\Lambda$ est l'algbre de groupe continue $\Zp[[\Gamma]]$. On peut encore construire sur $S_p(E/K_\infty)/\divis_\Lambda$ une forme $\Lambda$-linaire et alterne. Le troisime argument utilise les rsultats de Kolyvagin gnraliss par Bertolini et Darmon (\cite{kolyvagin90}, \cite{bertolini-darmon90}) et des arguments de descente pour conclure. Pour construire la forme alterne, Nekov\'a\v{r} reprend compltement la thorie des groupes de Selmer en utilisant le formalisme des complexes. Il obtient ainsi d'autres applications en thorie de Hida et autres. Nous nous contentons ici de faire cette construction en allant au plus court et de replacer ensuite ces rsultats dans un contexte plus gnral. Le principe de la dmonstration est de faire grand usage du twist d'un $\Lambda$-module : l'adjoint d'un $\Lambda$-module de torsion se calcule en effet facilement lorsque ses coinvariants sont de torsion pour l'anneau quotient, ce qui est ralisable en faisant un twist conve nable. Cette astuce permet d'viter les difficults dues au fait que le groupe de Mordell-Weil n'est pas fini. Ainsi, par exemple, l'accouplemen t de Cassels-Tate peut se calculer comme une "limite convenable" des accouplements relatifs aux reprsentations twistes par $k$.

Bernadette Perrin-Riou <Bernadette.Perrin-Riou@math.u-psud.fr>