Cycles de codimension 2 et H3 non ramifié pour les variétés sur les corps finis, by Jean-Louis Colliot-Thélène and Bruno Kahn

[ Revised, January 14, 2012; replaces version dated April 18, 2011 ]

À toute variété projective et lisse X sur un corps fini on associe son troisième groupe de cohomologie non ramifiée à coefficients Q/Z(2). On passe en revue les liens entre ce groupe, le groupe de Chow des cycles de codimension 2 sur X, et certaines conjectures locales-globales pour l'existence d'un zéro-cycle de degré 1 sur les variétés définies sur un corps global de caractéristique positive. On discute la structure et la taille du troisième groupe de cohomologie non ramifié. Ceci amène à conjecturer sa finitude. Nous conjecturons que ce groupe est nul pour les variétés de dimension 3 géométriquement uniréglées.

To every smooth projective variety X over a finite field is associated its third unramified cohomology group with coefficients Q/Z(2). We review the links between this group, the second Chow group of X and certain local-global conjectures for the existence of a zero-cycle of degree 1 on varieties defined over a global field of positive caracteristic. We discuss the structure and the size of the third unramified cohomology group. This leads us to conjecture its finiteness. For geometrically uniruled threefolds, we conjecture that this group vanishes.


Jean-Louis Colliot-Thélène <jlct@math.u-psud.fr>
Bruno Kahn <kahn@math.jussieu.fr>